Question

設(shè)F₁是橢圓x²+

y2

4

=1的下焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，則

PF1

•

PO

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出F₁的坐標(biāo)（0，-

3

），設(shè)P（x，y），所以可求出向量

PF1

，

PO

的坐標(biāo)，所以結(jié)合點(diǎn)P滿足橢圓的方程，可求出

PF1

•

PO

=(

3

2

y+1)2，而y∈[-2，2]，所以y=2時(shí)

PF1

•

PO

取到最大值，所以將y=2帶入即可求出該最大值．

解答： 解：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知F1(0，-

3

)，設(shè)P（x，y），則：

PF1

•

PO

=(-x，-

3

-y)•(-x，-y)=x2+

3

y+y2=1-

y2

4

+

3

y+y2=

3

4

y2+

3

y+1=(

3

2

y+1)2；
又-2≤y≤2；
∴y=2時(shí)，

PF1

•

PO

取最大值4+2

3

．
故答案為：4+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及觀察法求二次函數(shù)的最值．