Question

設F₁是橢圓x²+

y2

4

=1的下焦點，O為坐標原點，點P在橢圓上，則

PF1

•

PO

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓的標準方程求出F₁的坐標（0，-

3

），設P（x，y），所以可求出向量

PF1

，

PO

的坐標，所以結合點P滿足橢圓的方程，可求出

PF1

•

PO

=(

3

2

y+1)2，而y∈[-2，2]，所以y=2時

PF1

•

PO

取到最大值，所以將y=2帶入即可求出該最大值．

解答： 解：根據橢圓的標準方程知F1(0，-

3

)，設P（x，y），則：

PF1

•

PO

=(-x，-

3

-y)•(-x，-y)=x2+

3

y+y2=1-

y2

4

+

3

y+y2=

3

4

y2+

3

y+1=(

3

2

y+1)2；
又-2≤y≤2；
∴y=2時，

PF1

•

PO

取最大值4+2

3

．
故答案為：4+2

3

．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的焦點，以及向量數(shù)量積的坐標運算，以及觀察法求二次函數(shù)的最值．