Question

17．設(shè)集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}，B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{16}{5}$}，C={（x，y）|2|x-3|+|y-4}=λ}，若（A∪B）∩C≠∅，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]．

Answer 1

分析 集合A，B表示以（3，4）點(diǎn)為圓心，半徑分別為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$的圓，集合C在λ＞0時，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，由（A∪B）∩C≠∅，可得菱形與A或B圓有交點(diǎn)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}表示以（3，4）為圓心，半徑為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$的圓，
集合B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{16}{5}$}表示以（3，4）為圓心，半徑為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$的圓，
集合C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}在λ＞0時，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，
如下圖所示：

若（A∪B）∩C≠∅，則菱形與A或B圓有交點(diǎn)，
當(dāng)λ＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點(diǎn)，不滿足答案；
當(dāng)菱形與大圓相切時，圓心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一邊的距離等于大于半徑$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)x＞3，且y＞4時，菱形一邊的方程可化為2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$得：λ=4，
故λ＞4時，兩圓均在菱形內(nèi)部，與菱形無交點(diǎn)，不滿足答案；
綜上實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]，
故答案為：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，4]．

點(diǎn)評 本題考查交，并，補(bǔ)集的混合運(yùn)算，明確2|x-3|+|y-4|=λ的圖形是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．