Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
（1）求證：{a_n-n}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{n•（a_n-n）}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，a₁=S₁，可得首項(xiàng)，再由n換為n-1，相減可得{a_n-n}為首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求得n•（a_n-n）=$\frac{2}{3}$n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
可得2S₁+a₁=5，a₁=S₁可得a₁=$\frac{5}{3}$，
即有a₁-1=$\frac{2}{3}$，
2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*．
可得2S_n-1+a_n-1=（n-1）²+2（n-1）+2，
相減可得2a_n+a_n-a_n-1=2n-1+2，
即有3（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
則{a_n-n}為首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
即有a_n-n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即為a_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1+n；
（2）n•（a_n-n）=$\frac{2}{3}$n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2}{3}$[1+2•$\frac{1}{3}$+3•$\frac{1}{9}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$[1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+3•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]，
相減可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$[1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]
=$\frac{2}{3}$[$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）^n-1]，
即有前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{1}{2}$）•（$\frac{1}{3}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查構(gòu)造法的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的求和公式，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．