Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=ln2處的切線l的傾斜角為0，求切線l的方程；
（2）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）是曲線C上不同的兩定點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N，記直線AB的斜率為k．若x₁=-x₂，試問：曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）的圖象在x=ln2處的切線l的傾斜角為0，求出a，即可求切線l的方程；
（2）設(shè)出線段AB的中點M的坐標(biāo)，得到N的坐標(biāo)，由兩點式求出AB的斜率，再由導(dǎo)數(shù)得到曲線C過N點的切線的斜率，由斜率相等得$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=e^x-a．----（1分）
（1）由函數(shù)y=f（x）的圖象在x=ln2處的切線l的傾斜角為0，
即f′（ln2）=tan0=0，
則e^ln2-a=0，即a=2，---（3分）
又f（ln2）=2-2ln2，
故切線l的方程為y=2-2ln2；----（5分）
（2）由題意知x₁=-x₂，k=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-a=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a，----（8分）
點N的橫坐標(biāo)$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=0為，
曲線C在點N處切線斜率k′=f′（0）=1-a，----（10分）
假設(shè)曲線C在點N處的切線平行于直線AB，
則$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，即${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x₂=0，其中x₂＞0，----（12分）
設(shè)g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x（x＞0），g′（x）=）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥0，
則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）＞g（0）=0，----（14分）
故${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x₂=0不成立，
因此曲線C在點N處的切線不平行于直線AB．----（16分）

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明問題，是壓軸題．