Question

18．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）-2×3^x，求g（x+1）＞g（x）時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，解此方程組即可求得a，b，的值，從而求得f（x）；
（2）求出g（x+1），g（x），問題轉化為3•2^x-4•2^x＞0，解出即可．

解答 解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，得
$\left\{\begin{array}{l}{6=ab}\\{24=b{•a}^{3}}\end{array}\right.$，結合a＞0且a≠1，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴f（x）=3•2^x．
（2）由（1）得：g（x）=3•2^x-2×3^x，
g（x+1）=3•2^x+1-2×3^x+1，
由g（x+1）＞g（x）得：
3•2^x+1-2•3^x+1-3•2^x+2•3^x＞0，
∴3•2^x-4•3^x＞0，
∴${（\frac{2}{3}）}^{x}$＞$\frac{4}{3}$，
解得：x＜$\frac{{2log}_{3}^{2}-1}{{log}_{3}^{2}-1}$．

點評 此題是個中檔題．考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，和利用指數(shù)函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉化的思想，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．