Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c∈R）．
（1）若f（1）=0，且f（x）在x=-1時有最小值-4，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若a=1，且不等式f（c）-f（b）≤t（c²-b²）對任意滿足條件4c≥b²+4的實(shí)數(shù)b，c恒成立，求常數(shù)t取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式，利用f（1）=0，且f（x）在x=-1時有最小值-4，求出a、b、c即可得到函數(shù)的解析式．
（2）若a=1，f（x）=x²+bx+c，利用f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t（c²-b²）對任意滿足條件4c≥b²+4的實(shí)數(shù)b，c恒成立，通過當(dāng)c=b=2時，當(dāng)c=-b=2時，當(dāng)b≠±2時，當(dāng)b≤0，當(dāng)b＞0（且b≠2）時，求解常數(shù)t的取值范圍是$（\;\frac{3}{2}\;，\;+∞）$

解答 解：（1）依題意，f（1）=0，a+b+c=0，
f（x）在x=-1時有最小值-4，設(shè)f（x）=a（x+1）²-4，f（1）=4a-4=0，得a=1，
所以 f（x）的表達(dá)式是f（x）=x²+2x-3．（5分）
（2）若a=1，則f（x）=x²+bx+c，f（c）-f（b）=（c+2b）（c-b），（c+2b）（c-b）≤t（c²-b²）對任意滿足條件4c≥b²+4的實(shí)數(shù)b，c恒成立，
當(dāng)c=b=2時，顯然成立，t∈R；當(dāng)c=-b=2時，顯然成立，t∈R；
當(dāng)b≠±2時，${c^2}-{b^2}≥（1+\frac{b^2}{4}{）^2}-{b^2}=（1-\frac{b^2}{4}{）^2}＞0$，
所以$t≥\frac{（c+2b）（c-b）}{{{c^2}-{b^2}}}$，即$t≥\frac{c+2b}{c+b}=1+\frac{c+b}$，
對任意滿足條件4c≥b²+4的實(shí)數(shù)b，c恒成立，
由于$c+b≥1+\frac{b^2}{4}+b={（1+\frac{2}）^2}＞0$，
當(dāng)b≤0（且b≠-2）時，只需t≥1；
當(dāng)b＞0（且b≠2）時，$\frac{c+b}≤\frac{4b}{{4+{b^2}+4b}}≤\frac{4b}{4b+4b}=\frac{1}{2}$，
從而$t≥\frac{3}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號，等號不成立），
此時$t＞\frac{3}{2}$．
所以，常數(shù)t的取值范圍是$（\;\frac{3}{2}\;，\;+∞）$．（14分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論以及計(jì)算能力．