Question

15．已知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{4}{x}$-2）．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對鉤函數(shù)的性質(zhì)得出：y=x+$\frac{4}{x}$-2，最小值可以得出范圍
（2）利用對鉤函數(shù)得出x+$\frac{4}{x}$-2≥2，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出值域．

解答 解：∵y=x+$\frac{4}{x}$-2，在[2，+∞）單調(diào)遞增，
∴y_min=2$+\frac{4}{2}$-2=2＞0，
（1）∵x+$\frac{4}{x}$-2＞0的解集為x＞0，
∴函數(shù)f（x）的定義域：（0，+∞），
（2）∵x∈[2，+∞）
∴x+$\frac{4}{x}$-2≥2，
函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{4}{x}$-2）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}$2=1，
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的值域：（-∞，-1]

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對鉤函數(shù)的性質(zhì)，屬于屬于中檔題．