Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)F（x）的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$．對(duì)t分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（II）F（x）=f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，即a=lnx+x+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．由題意可得：若使函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則a=h（x）_min．

解答 解：（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
①當(dāng)$0＜t＜\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在$[t，\frac{1}{e}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{e}，t+2]$上單調(diào)遞增，
∴x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，$f（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$．
②當(dāng)t$≥\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴x=t時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（t）=tlnt．
（II）F（x）=f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，即a=lnx+x+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令h（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，則h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$．
可得：函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴h（x）_min=h（1）=3．
由題意可得：若使函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則a=h（x）_min=3．
因此：函數(shù)F（x）的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．