Question

5．已知f（x）=[x²-（a+3）x+b]e^x，其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a=-3，b=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)可得f′（1）=0，可得b=2a+3，f′（x）=[x²-（a+1）x+a]e^x=（x-a）（x-1）e^x．討論a=1，a＞1，a＜1，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)a=-3，b=0，f（x）=x²e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x²+2x）e^x，
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=3e，
切點(diǎn)為（1，e），
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-e=3e（x-1），
即為3ex-y-2e=0；
（2）f（x）=[x²-（a+3）x+b]e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=[x²-（a+1）x+b-a-3]e^x，
x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，即有f′（1）=0，
即有b=2a+3，
則f（x）=[x²-（a+1）x+2a+3]e^x，
f′（x）=[x²-（a+1）x+a]e^x=（x-a）（x-1）e^x．
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0解得x＞a或x＜1，由f′（x）＜0解得1＜x＜a，
即有f（x）在（1，a）遞減，在（a，+∞），（-∞，1）遞增；
當(dāng)a＜1時(shí)，由f′（x）＞0解得x＞1或x＜a，由f′（x）＜0解得a＜x＜1，
即有f（x）在（a，1）遞減，在（1，+∞），（-∞，a）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)和運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．