Question

4．已知拋物線C；y²=2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，拋物線上的點M（3，y）（y＞0）到焦點的距離|MF|=4
（1）求p和點M的坐標(biāo)；
（2）過點M作準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，設(shè)直線m為線段FN的垂直平分線，證明直線m與拋物線有且只有一個公共點．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義，可得3+$\frac{p}{2}$=4，求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程，代入M的坐標(biāo)，可得y，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)；
（2）求得N的坐標(biāo)和F的坐標(biāo)，運用中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及直線垂直的條件，即可得到直線m的方程，聯(lián)立拋物線方程，即可解得交點，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）解：拋物線C；y²=2px（p＞0）的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為l：x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得，|MF|=3+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=2，即有拋物線的方程為y²=4x，
將x=3代入拋物線方程，可得y=2$\sqrt{3}$（負(fù)值舍去），
即有p=2，M（3，2$\sqrt{3}$）；
（2）證明：由（1）可得N（-1，2$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，0），
則FN的中點為（0，$\sqrt{3}$），k_NF=$\frac{2\sqrt{3}}{-2}$=-$\sqrt{3}$，
即有直線m的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
代入拋物線方程，可得x²-6x+9=0，
解得x=3，y=2$\sqrt{3}$，
則直線m與拋物線有且只有一個交點（3，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的定義的運用，同時考查兩直線垂直的條件和中點坐標(biāo)公式，注意聯(lián)立直線和拋物線方程求交點，屬于中檔題．