Question

8．f（x）=x²+2f′（2）x+3，則${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=（　�。�

• A． -54$+\frac{9π}{2}$
• B． -54+9π
• C． 54$+\frac{9π}{2}$
• D． 54+9π

Answer 1

分析 對(duì)原函數(shù)兩邊求導(dǎo)，再將x=2代入先求出f′（2）的值，再根據(jù)計(jì)算定積分的公式和定積分的幾何意義即可求出．

解答 解：∵f（x）=x²+2f′（2）x+3，
∴f′（x）=2x+2f′（2），
當(dāng)x=2時(shí)，有：f′（2）=4+2f′（2），
∴f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x+3，
∵${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9π}{4}$，
∵${∫}_{-3}^{0}$（x²-8x+3）dx=（$\frac{1}{3}$x³-4x²+3x）|${\;}_{-3}^{0}$=-（-9-36-9）=54，
∴${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=54+$\frac{9π}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查定積分、定積分的應(yīng)用、導(dǎo)函數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．