Question

13．設p：y=c^x是R上的單調遞減函數；q：函數g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域為R．如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則正實數c的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 分別求出兩個命題的為真命題的等價條件，利用復合命題真假之間的關系進行判斷求解．

解答 解：若y=c^x是R上的單調遞減函數，則0＜c＜1，
若函數g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域為R，
則當c=0時，g（x）=lg（2x+1）的值域為R滿足條件，
若c≠0，要使函數g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{△=4-8c≥0}\end{array}\right.$，即0＜c≤$\frac{1}{2}$，綜上$0≤c≤\frac{1}{2}$；
若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，
則p，q為一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c＞\frac{1}{2}或c＜0}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$＜m＜1，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜c≤\frac{1}{2}}\\{c≥1或c≤0}\end{array}\right.$，此時無解，
綜上正實數c的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜m＜1，
故選：A

點評 本題主要考查復合命題真假的應用，根據條件求出兩個命題的為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．