Question

3．已知y=f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數(shù)，它在[0，3]上是一次函數(shù)，在[3，6]上是二次函數(shù)，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）-a²-4a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，代入f（5）=3，f（6）=2，以及對稱軸為x=5，解方程可得a，b，c，再由奇函數(shù)的定義可得[-6，-3]的函數(shù)式，再由一次函數(shù)的解析式，解方程即可得到所求；
（2）運用二次函數(shù)的最值的求法和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的值域為[-3，3]，由題意可得a²+4a+3≤0，解不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當x∈[3，6]時，f（x）為二次函數(shù)，
且f（x）≤f（5），f（6）=2，
設f（x）=ax²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{2a}=5}\\{25a+5b+c=3}\\{36a+6b+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=10}\\{c=-22}\end{array}\right.$；
∴f（x）=-x²+10x-22，∴f（3）=-1，
又∵f（x）為奇函數(shù)，且在[0，3]上的一次函數(shù)，f（3）=-1，
∴$當x∈[{-3，3}]時，f（x）=-\frac{x}{3}$，當x∈[-6，-3]時，-x∈[3，6]，
∴f（-x）=-x²-10x-22，
∵f（x）為[-6，6]上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x²+10x+22．
綜上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+10x+22，-6≤x≤-3}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{-{x}^{2}+10x-22，3≤x≤6}\end{array}\right.$；
（2）當-6≤x≤-3時，f（x）=（x+5）²-3，
當x=-5時，f（x）的最小值為-3；
x=-3時，f（-3）=1，即有f（x）∈[-3，1]；
當-3＜x＜3時，f（x）∈（-1，1）；
當3≤x≤6時，f（x）=-（x-5）²+3，
f（x）∈[-1，3]．
即有y=f（x）的值域為[-3，3]，
故f（x）-a²-4a≥0恒成立，
即a²+4a+3≤0，
解得-3≤a≤-1，
綜上：若f（x）-a²-4a≥0恒成立，求a的取值范圍為{a|-3≤a≤-1}．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用奇函數(shù)的定義，考查不等式恒成立問題的解法，以及運算求解能力，屬于中檔題．