Question

18．已知函數(shù)f（x）=4-log₂x，g（x）=log₂x．
（1）當$x∈（\frac{1}{2}，8）$時，求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若對任意的x∈[1，8]，不等式f（x³）•f（x²）＞kg（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）h（x）=（4-log₂x）•log₂x，利用換元法，配方法，即可求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）令t=log₂x，則t∈[0，3]﹒（4-3t）（4-2t）＞kt對t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4-3t）（4-2t）-kt=6t²-（k+20）t+16，則t∈[0，3]時，φ（t）＞0恒成立，分類討論，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，h（x）=（4-log₂x）•log₂x，
令t=log₂x，則y=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（2分）
∵$x∈（\frac{1}{2}，8）$，∴t∈（-1，3），y∈（-5，4]
即函數(shù)h（x）的值域為（-5，4]．…（4分）
（2）∵f（x³）•f（x²）＞kg（x），令t=log₂x，則t∈[0，3]﹒
∴（4-3t）（4-2t）＞kt對t∈[0，3]恒成立．…（5分）
令φ（t）=（4-3t）（4-2t）-kt=6t²-（k+20）t+16，
則t∈[0，3]時，φ（t）＞0恒成立．…（6分）
∵φ（t）的圖象拋物線開口向上，對稱軸$t=\frac{k+20}{12}$，
∴①當$\frac{k+20}{12}≤0$，即k≤-20時，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤-20；                                            …（7分）
②當$\frac{k+20}{12}≥3$，即k≥16時，
由φ（3）＞0，得$k＜\frac{10}{3}$，不成立；                          …（8分）
③當$0＜\frac{k+20}{12}＜3$，即-20＜k＜16時，
由$φ（\frac{k+20}{12}）＞0$，得$-20-8\sqrt{6}＜k＜-20+8\sqrt{6}$，
∴$-20＜k＜-20+8\sqrt{6}$．…（9分）
綜上，$k＜-20+8\sqrt{6}$．…（10分）

點評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．