Question

5．已知點A（2，0），B（0，-1），點P是圓x²+（y-1）²=1上的任意一點，則△PAB面積的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $4+\sqrt{5}$
• C． $1+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $2+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 先利用點到直線的距離公式求得圓心（0，1）到直線AB的距離為d，可得P到直線AB的距離最大值（d+1），從而求得△PAB面積的最大值為 $\frac{1}{2}$•AB•（d+1）的值．

解答 解：要使△PAB的面積最大，主要點P到直線AB的距離最大．
由于AB的方程為$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{-1}$=0，即x-2y=0，圓心（0，1）到直線AB的距離為d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故P到直線AB的距離最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+1，
再根據(jù)AB=$\sqrt{5}$，可得△PAB面積的最大值為 $\frac{1}{2}$•AB•（d+1）=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+1）=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，定到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．