Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，且過點A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點（4，0）作直線l交橢圓C于P，Q兩點，點S與P關(guān)于x軸對稱，求證：直線SQ恒過定點并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+4}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解可得a、b的值，進一步可得c的值，將其代入橢圓方程可得其標(biāo)準(zhǔn)方程以及離心率；
（Ⅱ）分析可得直線l的斜率存在，故可以設(shè)l的方程為y=k（x-4），表示出點S與P的坐標(biāo)；聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，求出k的范圍，進而結(jié)合方程用k表示出x_s+x_p，x_s•x_p，不妨設(shè)x_s＞x_p，則可以表示x_s-x_p、y_s+y_p、y_s-y_p，記SQ的中點為M，表示出M的坐標(biāo)，進而可以表示直線SQ的方程，對其變形可得SQ所過得定點坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，且過點A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
則有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+4}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2，則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，故可以設(shè)l的方程為y=k（x-4），
∵點S與P關(guān)于x軸對稱，∴x_s=x_p，y_s=-y_p，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=k（x-4）}\end{array}\right.$，則可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，
△=（-16k²）²-4（2k²+1）（32k²-8）＞0，解可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則x_s+x_Q=$\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x_s•x_Q=$\frac{32{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
不妨設(shè)x_s＞x_Q，則x_s-x_Q=$\frac{4\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$$\sqrt{1-2{k}^{2}}$，
y_s+y_Q=k（x_s+x_Q-8）=-$\frac{8k}{2{k}^{2}+1}$，y_s-y_Q=k（x_s-x_Q）=k•$\frac{4\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$$\sqrt{1-2{k}^{2}}$，
k_SQ=$\frac{{y}_{S}-{y}_{Q}}{{x}_{S}-{x}_{Q}}$=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1-2{k}^{2}}}$，
記SQ的中點為M，則M（$\frac{{x}_{S}+{x}_{Q}}{2}$，$\frac{{y}_{S}+{y}_{Q}}{2}$），
即則M（$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，-$\frac{2\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$$\sqrt{1-2{k}^{2}}$），
SQ的方程為y=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1-2{k}^{2}}}$x-$\frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{1-2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1-2{k}^{2}}}$（x-2），
即點（2，0）在直線SQ上，
同理若x_s＜x_p，點（2，0）在直線SQ上，
綜合可得：直線SQ恒過定點（2，0）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵要根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，其次要掌握常見的計算技巧，提高計算能力．