Question

4．一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與左視圖上方均為等邊三角形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)：
（1）求三棱錐外接球表面積
（2）求該幾何體的表面積
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）三棱錐的底面是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為2，有一側(cè)面是等腰三角形，垂直于底面，底面上的高為$\sqrt{3}$，求出三棱錐外接球的半徑，即可求三棱錐外接球表面積
（2）何體的底面是圓柱，表面積為$2π•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=4π，求出三棱錐的側(cè)面積，即可求該幾何體的表面積
（3）圓柱體積+三棱錐的體積，即可求該幾何體的體積．

解答 解：（1）三棱錐的底面是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為2，有一側(cè)面是等腰三角形，垂直于底面，底面上的高為$\sqrt{3}$，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則R²=2+（$\sqrt{3}$-R）²，∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱錐外接球表面積為4$π•（\frac{5\sqrt{3}}{6}）^{2}$=$\frac{25π}{3}$
（2）幾何體的底面是圓柱，表面積為$2π•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=4π，三棱錐的側(cè)面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$+2×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5-1}$=$\sqrt{6}$+2，
∴該幾何體的表面積S=4π+$\sqrt{6}$+2；
（3）該幾何體的體積V=$π•2•\sqrt{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}π$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查表面積、體積的計(jì)算，考查三視圖，確定幾何體的形狀是關(guān)鍵．