Question

6．己知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂=3，a₂a₃a₄=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過等比中項(xiàng)及a₂a₃a₄=64可知a₃=4，進(jìn)而利用a₁+a₂=3計算可知$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{2}$，從而數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=4^n-1+2^n-1，分別利用等比數(shù)列的求和公式計算出數(shù)列{4^n-1}、{2^n-1}的前n項(xiàng)和，相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₂a₃a₄=64，
∴${{a}_{3}}^{3}$=64，a₃=4，
又∵a₁+a₂=3，
∴$\frac{4}{{q}^{2}}$+$\frac{4}{q}$=3，
解得：$\frac{1}{q}$=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{q}$=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
故其通項(xiàng)公式a_n=a₃•q^n-3=4•2^n-3=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=a_n（a_n+1）=2^n-1（2^n-1+1）=4^n-1+2^n-1，
∵數(shù)列{4^n-1}是首項(xiàng)為1、公比為4的等比數(shù)列，
∴其前n項(xiàng)和P_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1），
∵數(shù)列{2^n-1}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴其前n項(xiàng)和Q_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴T_n=P_n+Q_n
=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）+2ⁿ-1
=$\frac{1}{3}$•4ⁿ+2ⁿ-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查利用分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．