Question

7．某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．
（Ⅰ）應(yīng)收集多少位男生的樣本數(shù)據(jù)？
（Ⅱ）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率；
（Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中有60位女生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，請(qǐng)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理，判斷該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別是否有關(guān)，這種判斷有多大把握？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知可得抽樣比為$\frac{10500}{15000}$，進(jìn)而得到答案；
（Ⅱ）有頻率直方圖求出各組頻率，進(jìn)而可得頻率分步直方圖；
（Ⅲ）有（Ⅰ），（Ⅱ）得到列聯(lián)表，計(jì)算出臨界值，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）300×$\frac{10500}{15000}$=210，所以應(yīng)收集多少210位男生的樣本數(shù)據(jù)．
（Ⅱ）有頻率直方圖可得1-（0.025+0.100）×2=0.75，
所以，該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75．
（Ⅲ）有（Ⅰ），（Ⅱ）可知300位學(xué)生中有300×0.75=225人每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，其中因女生有60人，則男生165人．結(jié)合樣本數(shù)據(jù)，可得每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下：

	男生	女生	總計(jì)
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)	45	30	75
每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)	165	60	225
總計(jì)	210	90	300

.${k}^{2}=\frac{300（45×60-165×30）^{2}}{75×225×210×90}=\frac{100}{21}≈4.762＞3.874$
所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是獨(dú)立性檢驗(yàn)，頻率分布直方圖，分層抽樣，是統(tǒng)計(jì)和概率的綜合應(yīng)用，難度中檔．