Question

20．已知f₁（x）=sinx+cosx，且f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2），則f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+…+f₂₀₁₅（$\frac{π}{4}$）=0．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)的周期性為4，再將代入，每四項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，即可求得正確答案．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+…+f₂₀₁₅（$\frac{π}{4}$）=f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）=-f₄（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$=0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．