Question

17．g（x）=2lnx-x²-mx，x∈R，如果g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），AB中點(diǎn)為C（x₀，0），求證g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析 根據(jù)題意$\left\{\begin{array}{l}{2l{nx}_{1}{{-x}_{1}}^{2}-{mx}_{1}=0①}\\{2l{nx}_{2}{{-x}_{2}}^{2}-{mx}_{2}=0②}\end{array}\right.$，作差得2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂-x₁）（x₂+x₁）-m（x₂-x₁）=0，整理式子，向題意靠攏；利用導(dǎo)數(shù)g′（x）與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用換元法得出函數(shù)g（t）其中t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，判斷g（t）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論g'（x₀）≠0．

解答 解：根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2l{nx}_{1}{{-x}_{1}}^{2}-{mx}_{1}=0①}\\{2l{nx}_{2}{{-x}_{2}}^{2}-{mx}_{2}=0②}\end{array}\right.$；
②-①得，2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂-x₁）（x₂+x₁）-m（x₂-x₁）=0，
∴2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=（x₂-x₁）（x₂+x₁+m）；（整理式子，向題意靠攏）
假設(shè)g′（x₀）=0，
即g′（x₀）=$\frac{-{{2x}_{0}}^{2}-{mx}_{0}+2}{{x}_{0}}$=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-（x₁+x₂）-m=0，（中點(diǎn)坐標(biāo)公式2x₀=x₁+x₂）
∴x₁+x₂+m=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
上下同除以x，另t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴l(xiāng)nt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1）；
令g（t）=lnt-$\frac{2t-2}{t+1}$，
在g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴l(xiāng)nt≠$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
即g'（x₀）≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是難題．