Question

9．求函數(shù)y=-2cos²x+2sinx+3，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出sinx的取值范圍，利用同角的平方關(guān)系對(duì)函數(shù)y進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．

解答 解：由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時(shí)，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴y=-2cos²x+2sinx+3
=2sin²x+2sinx+1
=2${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$；
當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值y_min=2×1+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值y_max=2×${（1+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$=5；
∴函數(shù)y在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的最大值是5，最小值是$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及利用配方法求二次函數(shù)的最值問題，解題時(shí)應(yīng)注意sinx的取值范圍．