Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\sqrt{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l與雙曲線右支及雙曲線的漸近線交于A、B、C、D四點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)的順序如圖所示．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）求證：|AB|=|CD|．

Answer 1

分析 （1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\sqrt{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，c，即可求得雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程，漸近線方程，用韋達(dá)定理，可得AD、BC的中點(diǎn)重合，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\sqrt{2}$，一條準(zhǔn)線方程為x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=1，c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴雙曲線的方程為x²-y²=1；
（2）證明：設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程可得（m²-1）y²+6mny+n²-1=0
又雙曲線的漸近線方程為x²-y²=0，直線方程代入可得（m²-1）y²+6mny+n²=0
∵直線l與雙曲線右支及雙曲線的漸近線交于A、B、C、D四點(diǎn)，
∴AD、BC的中點(diǎn)重合
∴|AB|=|CD|．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．