Question

5．如圖，已知圓心為C（4，3）的圓經(jīng)過原點O．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線3x-4y+m=0與圓C交于A，B兩點．若|AB|=8，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩點間距離公式求出圓C的半徑，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，則CD平分線段AB，從在則 $|AD|\;=\frac{1}{2}|AB|\;=4$，由勾股定理求出CD，由點到直線的距離公式求出CD，由此能求出m．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：∵圓心為C（4，3）的圓經(jīng)過原點O，
∴圓C的半徑 $|OC|\;=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$，（3分）
∴圓C的方程為（x-4）²+（y-3）²=25．（5分）
（Ⅱ）解：∵直線3x-4y+m=0與圓C交于A，B兩點．若|AB|=8，
作CD⊥AB于D，則CD平分線段AB，
∴$|AD|\;=\frac{1}{2}|AB|\;=4$．（7分）
在直角三角形ADC中，$|CD|\;=\sqrt{|AC{|^2}-|AD{|^2}}=3$．（9分）
由點到直線的距離公式，得$|CD|\;=\frac{|3×4-4×3+m|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{|m|}{5}$，（11分）
∴$\frac{|m|}{5}=3$，（12分）
解得m=±15．（13分）

點評 本題考查圓的方程的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．