Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x-$\frac{1}{x}$）•cosx，x∈[-π，π]且x≠0，則下列描述正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
• B． 函數(shù)f（x）在（0，π）上有最大值無最小值
• C． 函數(shù)f（x）有2個不同的零點
• D． 函數(shù)f（x）在（-π，0）上單調(diào)遞減

Answer 1

分析 A．根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷，
B．將函數(shù)分解為g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，討論g（x）和h（x）的單調(diào)性和符號，進行判斷，
C．根據(jù)函數(shù)零點的定義解方程f（x）=0進行判斷，
D．將函數(shù)分解為g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，討論g（x）和h（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：A．函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則f（-x）=（-x+$\frac{1}{x}$）•cosx=-（x-$\frac{1}{x}$）•cosx=-f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．故A錯誤，
B．當x∈（0，π）時，設g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，
當x∈（0，1]時，g（x）＜0，且為增函數(shù)，h（x）為減函數(shù)，且h（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)，
當x∈（1，$\frac{π}{2}$）時，g（x）＞0，且為增函數(shù)，h（x）為減函數(shù)，且h（x）＞0，此時f（x）≥0，
當x∈[$\frac{π}{2}$，π）時，g（x）＞0，且為增函數(shù)，h（x）為減函數(shù)，且h（x）＜0，此時f（x）＜0，則函數(shù)f（x）為減函數(shù)無最小值，
則函數(shù)存在極大值，同時也是最大值，故B正確，
C．由f（x）=（x-$\frac{1}{x}$）•cosx=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$cosx=0得cosx=0或x²-1=0，即x=±1或x=$\frac{π}{2}$或x=-$\frac{π}{2}$，即函數(shù)f（x）有4個不同的零點，故C錯誤，
D．當x∈（-π，0）時，設g（x）=x-$\frac{1}{x}$，h（x）=cosx，
當x∈（-π，-$\frac{π}{2}$）時，g（x）和h（x）都是增函數(shù)且h（x）＜0，g（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，
當x∈（1，π）時，g（x）和h（x）都是增函數(shù)且h（x）＞0，g（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）在（-π，0）上不單調(diào)，故D錯誤，
故選：B．

點評 本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及函數(shù)奇偶性，單調(diào)性以及函數(shù)與方程的應用，綜合性較強，難度較大．