Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，2]上的最大值為$\frac{3}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$，即可求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，2]上的最大值為$\frac{3}{4}$，分類討論求a的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$，
∵a^x＞0，
∴0＜$\frac{1}{{a}^{x}+1}$＜1，
∴0＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域為（0，1）；
（Ⅱ）a＞1，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
∵f（x）在[-1，2]上的最大值為$\frac{3}{4}$，
∴f（2）=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\sqrt{3}$；
0＜a＜1，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞減，
∵f（x）在[-1，2]上的最大值為$\frac{3}{4}$，
∴f（-1）=$\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．