Question

13．在△ABC中，cos2A+cos2C=2cos2B，求證：$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$．

Answer 1

分析 將已知移項(xiàng)后，利用和差化積公式化簡，整理，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可證明．

解答 證明：cos2A+cos2C=2cos2B，
⇒cos2A-cos2B=cos2B-cos2C，
⇒2sin（A+B）sin（A-B）=2sin（B+C）sin（B-C），
⇒sinCsin（A-B）=sinAsin（B-C），
⇒sinC（sinAcosB-cosAsinB）=sinA（sinBcosC-cosBsinC），
⇒2sinAcosBsinC=cosAsinBsinC+sinAsinBcosC，（兩邊同除以sinAsinBsinC）
⇒$\frac{2}{tanB}=\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等式的證明，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．