Question

4．如圖，半徑為4m的水輪繞著圓心O逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，水輪圓心O距離水面2m，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從離開水面的時(shí)刻（P₀）開始計(jì)算時(shí)間．
（1）將點(diǎn)P距離水面的高度y（m）與時(shí)間t（s）滿足的函數(shù)關(guān)系；
（2）求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y（m）與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，利用周期求得ω，當(dāng)t=0時(shí)，y=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得t=5+15k（k∈Z）即當(dāng)k=0時(shí)，即t=5（s）時(shí)，點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)．

解答 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
由于水輪繞著圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y（m）與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，
∵水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，
∴$T=\frac{60}{4}=15$．
∴$?=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{15}$．
∵水輪半徑為4 m，
∴A=4．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜0）$．
當(dāng)t=0時(shí)，y=0．
∴$φ=-\frac{π}{6}$．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
（2）由于最高點(diǎn)距離水面的距離為6，
∴$6=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）=1$．
∴$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴當(dāng)k=0時(shí)，即t=5（s）時(shí)，點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型的問題，考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．