Question

1．已知曲線f（x）=a（x-1）²+blnx（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解導數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得出f'（x）≤0在[2，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為f'（x）最大值≤0，成立即可．
（Ⅱ）不等式f（x）≤x-1恒成立，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造g（x）=f（x）-x+1在∈[1，+∞）上恒有g(shù)（x）≤0，再利用g（x）最大值問題求解即可，具體分類討論．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=2ax-2a+\frac{x}$由題知f'（1）=b=1
∴f（x）=a（x-1）²+lnx，
$f'（x）=2ax-2a+\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-2ax+1}}{x}$，f（x）在[2，+∞）上單減，
∴f'（x）≤0在[2，+∞）上恒成立
即2ax²-2ax+1≤0在[2，+∞）上恒成立，2a≤${（-\frac{1}{{{x^2}-x}}）_{min}}=-\frac{1}{2}$，
∴a≤$-\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x+1=a（x-1）²+lnx-x+1，則g（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
$g'（x）=2ax-2a+\frac{1}{x}-1=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
當2a≤0即a≤0時，g'（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上單減，
∴g（x）≤g（1）=0，符合題意；
當$0＜\frac{1}{2a}$≤1時，g'（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上單增，
∴當x＞1時，g（x）＞g（1）=0，矛盾；
當$\frac{1}{2a}＞1$時，g（x）在$[1，\frac{1}{2a}）$上單減，$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單增，而$g（\frac{1}{a}+1）=ln（\frac{1}{a}+1）＞0$，矛盾；
綜上，a≤0．

點評 本題綜合考查了導數(shù)的運用，結(jié)合不等式，求解最值，判斷求解單調(diào)性，不等式恒成立問題，綜合性較強，難度較大．