Question

13．（文科）如圖，已知拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²，點P（x₀，y₀）為拋物線上一點，y₀∈[3，5]，圓F方程為x²+（y-1）²=1，過點P作圓F的兩條切線PA，PB分別交x軸于點M，N，切點分別為A，B．
①求四邊形PAFB面積的最大值．
②求線段MN長度的最大值．

Answer 1

分析 ①四邊形PAFB面積S=2S_△APF=2$•\frac{1}{2}•|AP|$，求出|AP|的最大值，即可求四邊形PAFB面積的最大值．
②求出M，N的坐標，表示出|MN|，即可求線段MN長度的最大值．

解答 解：①設(shè)P（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），則$\frac{1}{4}$x₀²∈[3，5]，x₀²∈[12，20]，
由題意，∠FAP=90°，∠FBP=90°，
△AFP中，|AP|=$\sqrt{|PF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}}}{4}$，
令x₀²=t∈[12，20]，則|AP|=$\frac{1}{4}$$\sqrt{{t}^{2}+8t}$，
四邊形PAFB面積S=2S_△APF=2$•\frac{1}{2}•|AP|$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{{t}^{2}+8t}$，
最大值為$\sqrt{35}$，此時x₀²=20，即y₀=5時取到；
②設(shè)P（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），則圓的切線方程為y-$\frac{1}{4}$x₀²=k（x-x₀）．
由點到直線的距離公式可得$\frac{|k{x}_{0}+1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
∴（x₀²-1）k+2x₀（1-$\frac{1}{4}$x₀²）k+（1-$\frac{1}{4}$x₀²）²-1=0，
設(shè)兩根為k₁，k₂，則k₁+k₂=-$\frac{2{x}_{0}（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，k₁k₂=$\frac{（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，
∵M（x₀-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x₀²，0），N（x₀-$\frac{1}{4{k}_{2}}$x₀²，0），
∴|MN|=$\frac{1}{4}$x₀²|$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$|=2•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+8t}}{t-8}$（x₀²=t∈[12，20]，t-8=m∈[4，12]）
∴|MN|=2•$\frac{\sqrt{{n}^{2}+24n+128}}{n}$，
令$\frac{1}{n}$=p∈[$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$]，
∴|MN|=2$\sqrt{128{p}^{2}+24p+1}$，最大值為2$\sqrt{15}$，p=$\frac{1}{4}$，即y₀=3時取到．

點評 本題考查圓錐曲線的綜合，考查四邊形面積的計算，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．