Question

8．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），則數(shù)列{S_n}的前9項和為-$\frac{341}{1024}$．

Answer 1

分析 由S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求出a₁=-$\frac{1}{4}$．a(chǎn)_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n為正奇數(shù)），a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）．由此能求出數(shù)列{S_n}的前9項和．

解答 解：由S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），當n=1時，有a₁=（-1）¹a₁-$\frac{1}{2}$，
解得a₁=-$\frac{1}{4}$．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
即a_n=（-1）ⁿa_n+（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
若n為偶數(shù)，則a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，（n≥2）．
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n為正奇數(shù)）；
若n為奇數(shù)，則a_n-1=-2a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-2）•（-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)）．
∴-a₁=-（-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$．
則-a₁+a₂=2×$\frac{1}{{2}^{2}}$．
-a₃=-（-$\frac{1}{{2}^{4}}$）=$\frac{1}{{2}^{4}}$，a₄=$\frac{1}{{2}^{4}}$．
則-a₃+a₄=2×$\frac{1}{{2}^{4}}$．
…
-a₉+a₁₀=2×$\frac{1}{{2}^{10}}$．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉
=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a₉+a₁₀）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=2（$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{5}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）$
=-$\frac{341}{1024}$．
故答案為：-$\frac{341}{1024}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推公式及性質(zhì)的合理運用．