8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-1)nan(n∈N*),則數(shù)列{Sn}的前9項和為-$\frac{341}{1024}$.

分析 由Sn+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-1)nan(n∈N*),求出a1=-$\frac{1}{4}$.a(chǎn)n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$(n為正奇數(shù)),an=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n為正偶數(shù)).由此能求出數(shù)列{Sn}的前9項和.

解答 解:由Sn+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-1)nan(n∈N*),當n=1時,有a1=(-1)1a1-$\frac{1}{2}$,
解得a1=-$\frac{1}{4}$.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-1)nan-$\frac{1}{{2}^{n}}$-(-1)n-1an-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$.
即an=(-1)nan+(-1)n-1an-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$.
若n為偶數(shù),則an-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$,(n≥2).
∴an=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$(n為正奇數(shù));
若n為奇數(shù),則an-1=-2an+$\frac{1}{{2}^{n}}$=(-2)•(-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$)+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$.
∴an=$\frac{1}{{2}^{n}}$(n為正偶數(shù)).
∴-a1=-(-$\frac{1}{{2}^{2}}$)=$\frac{1}{{2}^{2}}$,a2=$\frac{1}{{2}^{2}}$.
則-a1+a2=2×$\frac{1}{{2}^{2}}$.
-a3=-(-$\frac{1}{{2}^{4}}$)=$\frac{1}{{2}^{4}}$,a4=$\frac{1}{{2}^{4}}$.
則-a3+a4=2×$\frac{1}{{2}^{4}}$.

-a9+a10=2×$\frac{1}{{2}^{10}}$.
所以,S1+S2+S3+S4+…+S9
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a9+a10)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)
=2($\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$)
=2•$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{4}^{5}})}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{10}})}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{2}^{10}})$
=-$\frac{341}{1024}$.
故答案為:-$\frac{341}{1024}$.

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意遞推公式及性質(zhì)的合理運用.

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