Question

15．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≤0\\ x-y-1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$若ax+y≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $a≥-\frac{1}{2}$
• B． $a≥\frac{1}{2}$
• C． a≥1
• D． $-\frac{1}{2}≤a≤1$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由ax+y≥1恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由約束條件作可行域如圖，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$ ）．
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
要ax+y≥1恒成立，
則ax+y-1≥0恒成立，
即平面區(qū)域都在直線ax+y-1=0的上方，
則滿足直線的ax+y-1=0的斜率-a＜0，
且點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足不等式ax+y-1≥0即可，
即a-1≥0，得a≥1，
綜上a≥1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式組得解法，是中檔題．