Question

10．對任意x∈[-1，1]，不等式-4≤x³+3|x-a|≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• C． [0，$\frac{2}{3}$]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 由題意可得y=|x-a|的圖象（紅色部分）應(yīng)在y=-$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{4}{3}$的圖象和y=-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{4}{3}$的圖象之間，數(shù)形結(jié)合可得f（-1）≤$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$，且f（1）≤-$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$，由此求得a的范圍．

解答 解：由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|≥-\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{4}{3}}\\{|x-a|≤\frac{4}{3}-\frac{{x}^{3}}{3}}\end{array}\right.$，即當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，
y=|x-a|的圖象應(yīng)在y=-$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{4}{3}$的圖象和y=-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{4}{3}$的圖象之間．
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，y=f（x）=|x-a|的圖象在y=-$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{4}{3}$的上方，顯然成立，
故只要當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，y=f（x）=|x-a|的圖象在y=-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{4}{3}$的下方，或在y=-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{4}{3}$上，
故有f（-1）=|1+a|≤$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$，且f（1）=|1-a|≤-$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$，
即|a+1|≤$\frac{5}{3}$，且|a-1|≤1，
求得0≤a≤$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．