Question

6．已知f（x）=9^x-2a•3^x+3，x∈[-1，1]．
（1）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，n同時滿足以下條件：
①log₃m＞log₃n＞1；
②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]．若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用換元法把復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，進一步利用分段函數(shù)求出解析式．
（2）先假設(shè)實數(shù)m、n存在，再根據(jù)已知條件推出矛盾從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)t=3^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
則函數(shù)f（x）等價為y=g（t）=t²-2at+3，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
對稱軸t=a．
①當a＜$\frac{1}{3}$時，h（a）=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{2a}{3}$+$\frac{28}{9}$，
②當$\frac{1}{3}$≤a≤3時，h（a）=g（a）=-a²+3，
③當a＞3時，h（a）=g（3）=-6a+12．
則h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}{3}+\frac{28}{9}，}&{a＜\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，}&{\frac{1}{3}≤a≤3}\\{-6a+12，}&{a＞3}\end{array}\right.$．
（2）假設(shè)存在m，n使?jié)M足①②的條件．
∵log₃m＞log₃n＞1，
∴m＞n＞3，
∵h（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數(shù)，而m＞n＞3，
∴h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]，
∵h（a）在[n，m]上的值域為[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²，即：12-6m=n²，12-6n=m²，
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3，∴m+n=6，而m＞n＞3時有m+n＞6，矛盾．
故滿足條件的實數(shù)m，n不存在．

點評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的解析式的確定，換元法的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，存在性問題的確定，考查學(xué)生的運算和推理能力．