Question

4．已知?dú)庀笈_A向西300km處，有個(gè)臺風(fēng)中心，已知臺風(fēng)以每小時(shí)40$\sqrt{2}$km的速度向東北方向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心100$\sqrt{5}$km以內(nèi)的地方都處在臺風(fēng)圈內(nèi)，問：從現(xiàn)在起，多長時(shí)間后，氣象臺A進(jìn)入臺風(fēng)圈？氣象臺A處在臺風(fēng)圈內(nèi)的時(shí)間是多長？

Answer 1

分析 建立直角坐標(biāo)系，可得t小時(shí)后，B的坐標(biāo)為（-300+40$\sqrt{2}$tcos45°，40$\sqrt{2}$tsin45°），利用B在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺將受臺風(fēng)影響，即可得出結(jié)論．

解答 解：以氣象臺為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則現(xiàn)在臺風(fēng)中心B₁的坐標(biāo)為（-300，0）．
根據(jù)題意，可知，t小時(shí)后，B的坐標(biāo)為（-300+40$\sqrt{2}$tcos45°，40$\sqrt{2}$tsin45°），
即（-300+40t，40t），
因?yàn)橐耘_風(fēng)中心為圓心，以100$\sqrt{5}$千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)將遭受臺風(fēng)影響，
所以B在圓上或圓內(nèi)時(shí)，氣象臺將受臺風(fēng)影響．
所以令|AB|≤100$\sqrt{5}$，即（-300+40t）²+（40t）²≤（100$\sqrt{5}$）²，
整理得2t²-15t+25≤0解得2.5≤t≤5
故大約2.5小時(shí)后，氣象臺A所在地將遭受臺風(fēng)影響，大約持續(xù)2.5個(gè)半小時(shí)．

點(diǎn)評 本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求臺風(fēng)影響氣象臺的時(shí)長．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，考查了直線與圓的知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．