【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中, ,O是AC的中點,,,.
(1)證明:平面平面ABC;
(2)若, ,D是AB的中點,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)利用PO⊥AC,OP2+OB2=PB2,即PO⊥OB.可證明PO⊥面ABC,即可得平面PAC⊥平面ABC;
(2)由(1)得PO⊥面ABC,過O作OM⊥CD于M,連接PM,則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的補角.解三角形POM即可.
(1)∵AP=CP,O是AC的中點,∴PO⊥AC,
∵PO=1,OB=2,.∴OP2+OB2=PB2,即PO⊥OB.
∵AC∩OB=O,∴PO⊥面ABC,
∵PO面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC;
(2)由(1)得PO⊥面ABC,過O作OM⊥CD于M,連接PM,
則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的補角.
∵OC1,∴AC=2,AB,∴CD.
∴S△COD
∴,∴OM.PM.
∴
∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值為.
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【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求點C到平面C1DE的距離.
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【題目】某區(qū)的區(qū)人大代表有教師6人,分別來自甲、乙、丙、丁四個學校,其中甲校教師記為,乙校教師記為,丙校教師記為,丁校教師記為.現(xiàn)從這6名教師代表中選出3名教師組成十九大報告宣講團,要求甲、乙、丙、丁四個學校中,每校至多選出1名.
(1)請列出十九大報告宣講團組成人員的全部可能結(jié)果;
(2)求教師被選中的概率;
(3)求宣講團中沒有乙校教師代表的概率.
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【題目】已知f(x)是定義在[-4,4]上的奇函數(shù),當x∈(0,4]時,函數(shù)的解析式為 (a∈R), 且.
(1)試求a的值;
(2)求f(x)在[-4,4]上的解析式;
(3)求f(x)在[-4,0)上的最值(最大值和最小值).
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【題目】已知,是實常數(shù).
(1)當時,判斷函數(shù)的奇偶性,并給出證明;
(2)若是奇函數(shù),不等式有解,求的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線C:,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形,則|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
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【題目】已知函數(shù)部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)把函數(shù)圖象上點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求關(guān)于x的方程在上所有的實數(shù)根之和.
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【題目】設(shè)有三個鄉(xiāng)鎮(zhèn),分別位于一個矩形的兩個頂點M,N及的中點S處,,現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)(含邊界),且與M,N等距離的一點O處設(shè)一個宣講站,記O點到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為.
(1)設(shè),試將L表示為x的函數(shù)并寫出其定義域;
(2)試利用(1)的函數(shù)關(guān)系式確定宣講站O的位置,使宣講站O到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和最。
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【題目】已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx).設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數(shù),且ω∈.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍
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