Question

16．已知各項均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前五項的和為S₅=25，且a₁，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對?n∈N^*都成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₁，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．可得${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₀，a₁=3d．又S₅=25，化為a₁+2d=5．聯(lián)立解出即可．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，利用“裂項求和”可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₄，a₁₀成等比數(shù)列．
∴${a}_{4}^{2}$=a₁a₁₀，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}$=a₁（a₁+9d），化為：a₁=3d．
又S₅=25，∴$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d$=25，化為a₁+2d=5．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3d}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，解得d=1，a₁=3．
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$．
T_n≤λa_n+1化為：λ≥$-（\frac{1}{n+3}）^{2}$+$\frac{1}{3}•\frac{1}{n+3}$=-$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{1}{36}$．
∴當(dāng)n=3時，-$（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{1}{36}$取得最大值：$\frac{1}{36}$．
∵T_n≤λa_n+1對?n∈N^*都成立，
∴$λ≥\frac{1}{36}$．
∴實數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{36}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．