Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2．
（1）證明：{S_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b₁=$\frac{1}{2}$，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$（n≥2），求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=3S_n+2，變形為：S_n+1+1=3（S_n+1），即可證明．再利用遞推關(guān)系即可得出a_n．
（2）n≥2時(shí)，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 證明：（1）∵S_n+1=3S_n+2，變形為：S_n+1+1=3（S_n+1），
∴{S_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3．
∴S_n+1=3ⁿ，
∴S_n=3ⁿ-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）n≥2時(shí)，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n-1}•{S}_{n}}$=$\frac{2×{3}^{n-1}}{（{3}^{n-1}-1）（{3}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}$．
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n-1}-1}-\frac{1}{{3}^{n}-1}）$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜1．
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．