Question

3．如圖，點(diǎn)F₁、F₂為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C分別為雙曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，且AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并滿足$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 令|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，|AB|=3m，由題意可得四邊形AF₁CF₂為矩形，運(yùn)用直角三角形的勾股定理和雙曲線的定義，可得a，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：令|AF₂|=m，則|BF₂|=2m，|AB|=3m，
由$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$及$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，
可得，四邊形AF₁CF₂為矩形，
所以有$\left\{\begin{array}{l}|A{F_1}|=2a+m\\|B{F_1}|=2a+2m\end{array}\right.$，
而在Rt△AF₁B中，（2a+m）²+（3m）²=（2a+2m）²，
化簡可得：$m=\frac{2}{3}a$，
故有$|A{F_1}|=\frac{8}{3}a$，$|A{F_2}|=\frac{2}{3}a$，
即$4{c^2}={（\frac{8}{3}a）^2}+{（\frac{2}{3}a）^2}$，
化簡可得：$c=\frac{{\sqrt{17}}}{3}a$，
即$e=\frac{{\sqrt{17}}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．