Question

4．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的點(diǎn)，且$CE=\frac{1}{4}C{C_1}$．     
（1）求三棱錐C-BED的體積；
（2）求直線CC₁與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通過V_C-BDE=V_E-BCD，直接求解幾何體的體積即可．
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率垂直數(shù)量積為0，證明A₁C⊥BE，A₁C⊥BD，即可證明A₁C⊥平面BDE，然后求解直線CC₁與平面BDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）由$CE=\frac{1}{4}C{C_1}$=$\frac{1}{2}$，
∴V_C-BDE=V_E-BCD…（2分）
=$\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•CE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．…（6分）
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則$B（{1，0，0}）、D（{0，1，0}）、E（{1，1，\frac{1}{2}}）、{A_1}（{0，0，2}）、C（{1，1，0}）$，
∴$\overrightarrow{{A_1}C}=（{1，1，-2}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-1，1，0}），\overrightarrow{BE}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$．  …（8分）
∵$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{BD}=（{1，1，-2}）•（{-1，1，0}）=1×（{-1}）+1×1+（{-2}）×0=0$，$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{BE}=（{1，1，-2}）•（{0，1，\frac{1}{2}}）=1×0+1×1+（{-2}）×\frac{1}{2}=0$，…（10分）
∴$\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{{A_1}C}⊥\overrightarrow{BE}$．
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BD．
∵BE∩BD=B，BE?平面BDE，ED?平面BDE，
∴A₁C⊥平面BDE． …（12分）
直線CC₁與平面BDE所成角的余弦值：cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{CC}_{1}}}{\overrightarrow{|{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{CC}_{1}}|}$|=$\frac{4}{2×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
直線CC₁與平面BDE所成角的正弦值：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判斷，幾何體的求解的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．