Question

4．確定函數(shù)y=${x}^{\frac{1}{3}}$$（1-x）^{\frac{2}{3}}$的單調(diào)區(qū)間，并求出此函數(shù)的極值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域R，化簡(jiǎn)函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，
且y=$[x（1-x）^{2}]^{\frac{1}{3}}$=$（{x}^{3}-2{x}^{2}+x）^{\frac{1}{3}}$，
則導(dǎo)數(shù)y′=$\frac{1}{3}$$（{x}^{3}-2{x}^{2}+x）^{-\frac{2}{3}}$•（3x²-4x+1），
令y′＞0，則x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；令y′＜0，則$\frac{1}{3}$＜x＜1．
即有函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），
減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，1），
函數(shù)y在x=1處取得極小值，且為0，
在x=$\frac{1}{3}$處取得極大值，且為$\frac{\root{3}{4}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．