Question

2．已知數(shù)列 {a_n}滿足 a₁=1，a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），則 a_n=$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$．

Answer 1

分析 通過a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，并項(xiàng)相加可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n-a_n+1=na_na_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+1
=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$，
故答案為：$\frac{2}{{n}^{2}-n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，利用并項(xiàng)相加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．