Question

6．若空間向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$與7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂直且$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$與7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的兩個垂直關(guān)系，寫出兩組向量的數(shù)量積為0，整理式子，把兩個向量的數(shù)量積和一個向量的模長用另一個向量的模長來表示，寫出求夾角的式子，約分得到余弦值，進一步得到夾角．

解答 解：空間向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$與7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂直且$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$與7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）=0，（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0，
∴7（$\overrightarrow{a}$）²-15（$\overrightarrow$）²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，①，7（$\overrightarrow{a}$）²+8（$\overrightarrow$）²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，②
∴-15（$\overrightarrow$）²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=8（$\overrightarrow$）²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴（$\overrightarrow$）²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，③，
把③代入①得（$\overrightarrow{a}$）²=（$\overrightarrow$）²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，
∵兩個向量的夾角屬于[0°，180°]
∴兩個向量的夾角等于60，
故答案為：60°

點評 本題考查向量夾角的計算，考查方程思想，要利用向量的數(shù)量積和模的意義進行合理的轉(zhuǎn)換．