Question

1．若函數(shù)g（x）=f（x）sinx為R上的偶函數(shù)，且x∈（-∞，0]時，f（x）=e^x+2x²+a-1，則f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．

Answer 1

分析 由題意可得y=f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，可得a=0，當(dāng)x＞0時，-x＜0，即可求得f（x）在x＞0的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可求得切線方程．

解答 解：g（x）=f（x）sinx為R上的偶函數(shù)，
由y=sinx為奇函數(shù)，則y=f（x）為奇函數(shù)，
即有f（0）=0，e⁰+0+a-1=0，
解得a=0，
即有f（x）=e^x+2x²-1，x＜0，
當(dāng)x＞0時，-x＜0，f（-x）=e^-x+2x²-1，
由f（-x）=-f（x），
可得x＞0時，f（x）=-e^-x-2x²+1，
f′（x）=e^-x-4x，
則f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為k=e^-1-4，
切點(diǎn)為（1，-e^-1-1），
則f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+e^-1+1=（e^-1-4）（x-1），
即為y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．
故答案為：y=（e^-1-4）x-2e^-1+3．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求函數(shù)解析式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．