Question

16．已知函數(shù)f（x）=（1-$\sqrt{3}$tan2x）cos2x+2cos²（$\frac{π}{6}$-x）-1．
（1）求f（x）的最小正周期及值域；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性和值域，求得f（x）的最小正周期及值域．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（1-$\sqrt{3}$tan2x）cos2x+2cos²（$\frac{π}{6}$-x）-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）
=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{3}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$cos[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$cos2x的圖象，
令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，可得g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈z．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得g（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，余弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．