Question

6．設(shè)單位向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|成立，則向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積運(yùn)算可化問(wèn)題為二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得．

解答 解：設(shè)單位向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$的夾角為θ，
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|成立，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ都有|$\overrightarrow{e_1}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e_2}$|²≤|$\overrightarrow{e_1}$-λ$\overrightarrow{e_2}$|²成立，
即${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ≤${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+λ²${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-2λ|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ，
即1+$\frac{1}{4}$+cosθ≤1+λ²-2λcosθ，即λ²-2λcosθ-（$\frac{1}{4}$+cosθ）≥0恒成立，
∴△=4cos²θ+4（$\frac{1}{4}$+cosθ）≤0，整理可得（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≤0，
再由（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≥0可得（cosθ+$\frac{1}{2}$）²=0，故cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{2π}{3}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積和向量的夾角，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．