Question

9．已知數(shù)列{a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，而{a_n}中的部分項a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kn組成的數(shù)列恰好為等比數(shù)列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17，求數(shù)列{k_n}的通項k_n．

Answer 1

分析 通過a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列，計算可得a₁=2d，進而可得等比數(shù)列{a_kn}的公比q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$，從等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個角度寫出${a}_{{k}_{n}}$的表達式，計算即得結論．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
根據(jù)題意可得：a₁，a₅，a₁₇成等比數(shù)列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），
整理得：2d²=da₁，
∵d≠0，∴a₁=2d，
∴q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{{a}_{1}}$=3，
∴${a}_{{k}_{n}}$=${a}_{{k}_{1}}$•q^n-1=a₁•q^n-1=a₁•3^n-1，
又${a}_{{k}_{n}}$=${a}_{{k}_{1}}$+（k_n-1）d=a₁+（k_n-1）•$\frac{{a}_{1}}{2}$，
∴a₁+（k_n-1）•$\frac{{a}_{1}}{2}$=a₁•3^n-1，
∵a_n≠0，
∴k_n=2•3^n-1-1．

點評 本題考查求數(shù)列的通項及求和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．