Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=，可得：a_n=$\frac{3}{n}$．b_n=9$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足$\frac{3}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，a₁=3，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公差為$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，可得：a_n=$\frac{3}{n}$．
b_n=a_na_n+1=$\frac{9}{n（n+1）}$=9$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=9$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=9$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{9n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．