Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中∠DAB=60°AB=2，AD=4，將△ABC沿BD折起到△EBD的位置．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）∠CDE取何值時，三棱E-ABD的體積取最大值？并求此時三棱E-ABD的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AB⊥DE，可得BD⊥CD，BD⊥DE，即可證明BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）當(dāng)∠CDE=90°時，h=ED=2，三棱錐E-ABD的體積取最大值，再求此時三棱E-ABD的側(cè)面積．

解答 （I）證明：在△ABD中，∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=$\sqrt{4+16-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，
∴AB⊥DE
∵AB∥CD，
∴BD⊥CD，BD⊥DE，
又∵CD∩DE=D，∴BD⊥平面CDE　　…（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)E點到平面ABCD距離為h，則h≤ED=2．
由（I）知BD⊥DE
當(dāng)DE⊥CD時，
∵BD∩CD=D，∴ED⊥平面ABCD，
∴當(dāng)∠CDE=90°時，h=ED=2，三棱錐E-ABD的體積取最大值．
此時ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AD、ED⊥BD
在Rt△DBE中，∵$DB=2\sqrt{3}，DE=DC=AB=2$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}DB•DE$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，S_△ADE=$\frac{1}{2}AD•DE$=4，
∵AB⊥BD，BD⊥DE，BD∩DE=D，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∵BE=BC=AD=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}AB•BE$=4，
綜上，∠CDE=90°時，三棱錐E-ABD體積取最大值，此時側(cè)面積S=8+2$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查棱錐的側(cè)面積，直線和平面的垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是中檔題．