Question

18．在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求三棱錐A-BCF的體積．
（2）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明AC⊥平面FBC，F(xiàn)C⊥平面ABCD，再利用體積公式求解即可；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明．

解答 解：（1）在△ABC中，
因?yàn)锳C=$\sqrt{3}$，AB=2，BC=1，
所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．
在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，
又因?yàn)锳C⊥FB，BC∩FB=B，
所以AC⊥平面FBC．
因?yàn)镕C?平面FBC，
所以AC⊥FC，
因?yàn)镃DEF為正方形，
所以DC⊥FC，F(xiàn)C=1，
因?yàn)锳C∩DC=C，
所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，
所以V_A-FBC=$\frac{1}{3}AC•{S}_{△FBC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）M為線段AC的中點(diǎn)，EA∥平面FDM．
連結(jié)CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN．
因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn)．
在△ACE中，EA∥MN．                                         
因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM，
所以 EA∥平面FDM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，考查體積的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．